Gelfand Models for Diagram Algebras : extended abstract

A Gelfand model for a semisimple algebra A over C is a complex linear representation that contains each irreducible representation of A with multiplicity exactly one. We give a method of constructing these models that works uniformly for a large class of combinatorial diagram algebras including: the partition, Brauer, rook monoid, rook-Brauer, Temperley-Lieb, Motzkin, and planar rook monoid algebras. In each case, the model representation is given by diagrams acting via “signed conjugation” on the linear span of their vertically symmetric diagrams. This representation is a generalization of the Saxl model for the symmetric group, and, in fact, our method is to use the Jones basic construction to lift the Saxl model from the symmetric group to each diagram algebra. In the case of the planar diagram algebras, our construction exactly produces the irreducible representations of the algebra. Résumé. Un modèle de Gelfand pour une algèbre semi-simple A sur C est une représentation linéaire complexe qui contient chaque représentation irréductible de A avec multiplicité exactement un. Nous fournissons une méthode de construction explicite de ces modèles qui fonctionne de manière uniforme pour une grande classe d’algèbres de schéma combinatoire, y compris: la partition, Brauer, rook-monoid, rook-Brauer, Temperley-Lieb, Motzkin, et algèbres planaires rook monoid. En chaque cas, la représentation du modèle est donnée par les diagrammes agissant par “conjugaison signé” sur l’espace engendré par les diagrammes verticalement symétriques. Cette représentation est une généralisation du modèle Saxl pour le groupe symétrique, et, en fait, notre méthode est d’utiliser le “Jones basic construction” pour étendre le modèle Saxl du groupe symétrique à chaque algèbre diagramme. Dans le cas des algèbres de diagrammes planaires, notre construction produit exactement les représentations irréductibles de l’algèbre.